Abhandlungen über die Algebraische Auflösung der Gleichungen by N. H. Abel, E. Galois

By N. H. Abel, E. Galois

Zu der hinterlassenen Abllamllullg VOll Abel, S. 57-81. 1 Die Definition der Ordnung eines algebraischen Ausdrucks, wie sie auf Seite sixty seven gegeben ist, ist incorrcct und nach der auf S. 10 angefiihrten zu berichtigen. Die Ordnung eines algebraischen Ausdrucks ist additionally nicht gleich der Anzahl der in ihm ausser den bekannten Grossen auftretenden Wurzelgrossen, sondern vielmehr, wenn guy sich des Symbols V-Wie ublich zur Bezeichnung der Wurzelgrossen bedient, gleich der grossten von denjenigen Zahlen, welche angeben, wie viele solcher Wurzelzeichen sich in dem gegebenen algebraischen Ausdruck uber einander erstrecken. Dabei wird vorausgesetzt, dass, wenn ein Wurzelzeichen einen Index hat, welcher eine zusammengesetzte Zahl ist, dasselbe nach der Formel 1Jtn m -V-= VFso weit umgeformt werde, bis siimtliche Wurzelzeiehen Primzahl exponenten tragen, und dass sich keines dieser Wurzelzeichen durch Ausfuhrung der durch dasselbe angedeuteten Operation beseitigen Hisst. Kommen in einem algebraischen Ausdruck mehrere solcher auf einander oder auf algebrai. che Ausdrucke niederer Ordnung nicht reducierbarer Wurzelgrossen vor, in denen jene, die grosste Anzahl der iiber einander sich erstreekenden 'Wurzelzeichen angebenden Zahlen einander gleich sind, so giebt die Anzahl derselben den Grad des algebraischen Ausdrucks an. - Ist In die Ordnung des algebraischen Ausdrucks und bezeichnet guy die einzelnen Wurzelgrossen in der Reihenfolge, wie sie numerisch berechnet werden ter mussen, um den Wert der Wurzelgrosse m Ordnung zu erhalten, mit ""m-l . . . .

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Man könnte auch mit einer Gleichung 2ten Grades in x oder anch mit einer Gleichnng 5ten Grades anfangen, Wir nehmen die allgemeine Gleichnng 9(X) = 0 wieder auf. Nimmt man p. ,,-2 + , .. /,,-1 + ... = 0 bestimmt wird, deren sämtliche Coefficienten rational dmch bekannte Grössen ausgedrückt sinrl. Dies vorausgescllickt, seien 54) { fL = p. , = 111 111. 1, p. " und p. erlegen. Dann kann man die gegebene GleielJUllg cp(x) = 0 in zwei andere auf folgende (0 Arten zerlegen: 4G I I Ab el. (1) (2) (0) ""', X, ,,(n,-l)m,' d X sm und deren Coefficienten rationale Functionen einer Grösse YI sind, welche eine Wurzel einer Gleichung t;YI = vom Grade m l ist.

Die gegebrne Gleichung 'fex) = vom Grade ° 57) ist, wo Cl, c2, ••• , Cw von einander verschiedene Primzahlen sind, so hat man: Ist die gegebene Gleichung algebraisch auflösbar, so sind es auch die Gleichungen (56); denn die Wnrzeln dieser Gleichungen sind rationnIe Functionpn von x. Man kann dieselben leicht ;]uf folgende W pi~e lösen. 47 Algebraisch auflösbare Gleichungen. Die Grösse y ist eine rationale und symmetrische Function der Wurzeln der Gleichung (52) d. h. von 59) x, a"'x, {}2nl X , ••• , Hen-l)nlx .

X. J2+ Y3+"·+ Ym Die rechte Seite dieser Gleichuug lässt sich rational durch die Coefficienten von ~(x) und {}x, d. h. durch bekannte Grössen ausdrücken. Setzt man also: 20) r, = Y~ + y; + Y~ + ... + y~, so hat man den Wert von r v für einen beliebigen ganzzahligen Wert von Y. 1·3' ••• , 1'"" kennt, daraus den Wert jeder symmetrischen Function der Grösscn Yll Y2, ... , Ym rational herleiten. Man kann somit auf diese Weise alle Coefficienten der Gleichung (16) finden und demnach jede rationale und symmetrische Function von x 1 , I}x1' 1}2XI , ...

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