# Algebra, WS 2009 by Martin Goldstern

By Martin Goldstern

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Das Wort Variet¨ at“ wird manchmal f¨ ur gleichungsdefinierte ” Klassen verwendet, und umgekehrt werden gleichungsdefinierte Klassen manchmal als Klassen von Algebren definiert, die unter H, S und P abgeschlossen sind. B Die frei von zwei Elementen erzeugte kommutative Gruppe Die kommutative Gruppe Z × Z wird von den beiden Elementen (1, 0) und (0, 1) erzeugt. Sei nun (G, +) eine kommutative Gruppe, die von 2 Elementen g1 und g2 erzeugt wird: G = {g1 , g2 } . Dann ist die Menge {n1 g1 + n2 g2 | n1 , n2 ∈ Z} unter + und − abgeschlossen, also eine Untergruppe von G.

Sei V ∈ V, B ⊆ V . Dann gilt: V ist frei u ¨ber B ⇔ B ist Basis von V . Beweis. Sei B Basis von V . Dann l¨ asst sich jeder Vektor v ∈ V eindeutig als Linearkombination v = i λi bi von Elementen von B darstellen. Sei f : B → W eine Abbildung von B in einen beliebigen K-Vektorraum W , dann ist die Abbildung i λi bi → λi f (bi ) i erstens wohldeﬁniert auf ganz V , zweitens linear, daher drittens ein Homomorphismus von V nach W , und viertens eine Fortsetzung der Abbildung f . Die Eindeutigkeit ist ebenfalls leicht einzusehen.

10 Lemma. Sei h : A → B eine Homomorphismus (zwischen zwei Algebren desselben Typs), und sei t(x1 , . . , xn ) ein Term. Dann gilt f¨ ur alle a1 , . . , an ∈ A: h(tA (a1 , . . , an )) = tB (h(a1 ), . . , h(an )) Beweis. Sei bi := h(ai ). Die Abbildung ϕb ist ein Homomorphismus von T(x1 , . . , xn ) nach B, ebenson wie die Abbildung h ◦ ϕa . Da diese beiden Homomorphismen auf der Erzeugendenmenge von T(x1 , . . , xn ) u ¨bereinstimmen, stimmen sie auf der ganzen Termalgebra u ¨berein, insbesondere an der Stelle t: h(ϕa (t)) = ϕb (t).